MATEMATİKSEL MANTIK ve FELSEFÎ ÖNEMİ

        MATEMATİKSEL MANTIK ve FELSEFÎ ÖNEMİ


Bu yazı, Bekir S. Gür'ün Matematik Felsefesi kitabında yer alan Rusell'ın Matematiksel Mantığın Felsefî Önemi adlı makalenin bir incelemesidir. Makaleyi iki ana başlık altında incelediğimden ismini böyle koymayı uygun buldum. İncelemenin ilk kısmında Russell'ın hareket, süreklilik ve sonsuzluk problemlerine yönelik çözümleriyle beraber matematiksel mantık, tümdengelim ve tümevarım üzerine görüşlerini, ikinci kısmında da bu görüşün bilgi teorisine katkısı ve matematiksel mantığın ne emprisizmle ne de idealizmle uzlaşmadığını Russell'ın bakış açısından aktarmaya çalışacağım.

Matematiksel Mantık


Russell'ın süreklilik ve sonsuzluk üzerine görüşleri Cantor'un transfinit sayılarla yaptığı sonsuzluk çözümüne dayanır. Kendi mantık görüşleri de bu konuyla birlikte Frege'nin ve Peano'nun mantık çalışmalarını içerir. Ona göre matematik aritmetiğe, aritmetik de mantığa indirgenerek bütün bir matematik analizi yapılabilir. Bu analiz sonucu da onun deyimiyle pür matematiğe ulaşırız. Pür matematikle kastı matematiksel mantıktır. Onun kendi matematiksel mantık tanımı şöyledir:
Amacı aritmetiğin ve geometrinin açıkça mantığa dayalı olan kavramlar vasıtasıyla, analizi ile tümdengelimi olan herhangi bir mantık teorisi.
Russell bu tanımı incelemek için sırasıyla üç yön belirtir:
1. Matematiksel sonuç
2. Matematiksel muhakeme metodu
3. Matematiksel önermeler, şeklinde olmalıdır.
Bu sıralamada görüleceği üzere önerilen, öncelikle matematiksel sonuçların sonra yöntemin en son da önermelerin incelenmesidir. Bunun nedenini Russell şöyle açıklar:
(...) çözmek zorunda olduğumuz problem, her sahici felsefe probleminde olduğu gibi analizin bir sorunudur ve analizin problemlerinde en iyi yöntem, sonuçlardan yola çıkan ve öncüllere ulaşan yöntemdir. Matematiksel mantıkta en yüksek kesinlik derecesine sahip olan çıkarımlardır. Nihaî öncüllere ne kadar yaklaşırsak o kadar belirsizlik ve zorlukla karşılaşırız.
Russell'ın vardığı sonuç, sonsuz sayıda bir çelişki olmadığıdır. Belirttiğimiz yönlerdeki ilk basamağın varacağı nokta burasıdır. O yüzden açıklamaya buradan başlıyoruz. Biz biliyoruz ki her tamsayıya karşılık her zaman bir çift tamsayı verebiliriz. "1" için "2" yi, "2" için "4" ü, "n" için "2n" i... Bunu yapabilmemizin sebebi iki sayı koleksiyonunun da sonsuz olmasından kaynaklanır. Ama aynı zamanda biz görüyoruz ki tamsayılar kümesi çift tamsayılar kümesini içerir. Bu durumda iki kümenin kardinalitesinin eşit olması bir çelişki gibi görünür. Russell'a göre bu öteden beri filozoflar için dert olmuştur. Hatta Russell'ın belirttiği üzere Leibniz bile aslında sonsuzun bir taraftarı olmasına rağmen bu çelişkiden dolayı onu reddettiğini söylemiştir.
Böyle bir çelişkiden söz edebilmek için öncelikle bütün sayıların tümevarım yöntemine uyduğunu söylemek gerekir. Oysa her sayının her tümevarım yöntemine uymadığını belirtirsek bu çelişkiyi de ortadan kaldırabiliriz. Russell buradaki çelişkiyi matematiksel tümevarımı açıklayarak kaldırır.
"n" e ait bir özellik "n+1" de de varsa bu o sayının "genetik özelliği" dir. Örneğin bu özellik 100'den büyük olma olabilir. Dolayısıyla bu özelliğe uyan bütün sayılar da 100'den büyük olacaktır. Eğer genetik özellik olarak tanımladığımız özellik "0" da da varsa bu o sayının "tümevarım özelliği" dir. Bu özellik "0" da olduğu için "1" de de olacak, "1" de olduğu için "2" de de olacaktır ve böylece gündelik hayatta kullandığımız bütün sayılar tümevarım yöntemine uyar görünecektir. Buradan şu sonucu çıkarırız:
- Eğer herhangi bir kolaksiyonda n sayısı varsa, bu koleksiyonun hiçbir parçasında aynı n sayısı olamaz. Devam edersek:
- Eğer bütün sayılar tümevarım özelliklerine sahipse, aynı sayıya kendilerinin bir parçası olarak sahip olan koleksiyonlar vardır sonucuna ulaşırız ki burada açıkça bir çelişki vardır.
- Bu çelişki daha önce söylediğimiz üzere, bütün tümevarım özelliklerine sahip olmayan sayılar vardır dersek kaybolur. Bu sayede daha önce filozofların çelişki olduğu düşünüldüğü için kaçındığı sonsuz sayı fikrinde bie çelişki olmadığını rahatça söyleyebiliriz.
Hareket ve sürekli değişimleri açıklayabilmek için sonsuz sayının yanında süreklilik problemini çözüme ulaştırmak ve bunun yanında da birbirine bağlı ki kavram olan fonksiyonu ve değişkeni bunlarla birlikte kullanmak gerekir.
Zenon'un paradoksuyla belirttiği harekete ve sürekliliğe dair problem, günümüzün süreklilik teorisinin çelişkili olmayan bir açıklama sunmasıyla çözülmüştür. Önceleri olanaksız görülen sonsuz sayı fikri gördüğümüz üzere olanaksız değildir. Bu fikre bağlı olarak, süreklilik sonsuz ayrık elemandan oluşur denilebilir ve bunlara Zenon'un yaptığı gibi sürekli bir ikili ayrım ile ulaşılmaz. Ama bu durumda bu elemanların olmadığını da daha önce belirttiğimiz kurallara bağlı olarak söyleyemeyiz.
Akla dayanarak bölünemez elemanlarına kadar analizin mümkün olmadığını söyleyen görüşler, aklın bunu matematiksel analizle mümkün kılmasıyla dayanaklarını kaybetmişlerdir. Bu analizle algılanır dünyanın bir açıklamasını dahi verebiliriz.
Süreklilik ve harekete ilişkin düşüncelerin önemini vurgulamak için Russell, sebep-sonuç arasındaki bağıntıları incelemeye koyulur. Bu bağıntı sabit bağıntı fikridir ve bu fikir sonuca ulaşmak için sebebin yinelenmesi zorunluluğunu ortadan kaldırır. Örneğin nedensellik ilkesi en bilindik haliyle "aynı sebep tekrarlandığında aynı sonuç tekrarlanacaktır." şeklinde yazılır. Temelde bildiğimiz üzere hiçbir zaman aynı sebebi tekrarlayamayız. Aslında olan şey belli tür sebeplerle, belli tür sonuçlar arasında bir bağıntı bulunmasıdır. Bu sabit bağıntının bulunduğu her durumda sonuç, sebebin bir fonsiyonu olacaktır. Bu sabit fonksiyon fikri matematiğe, aynı anda sonsuz veriyle uğraşabilme yetisi verir.
Bu türden bir fonksiyonun işlevini anlamak için öncelikle tümdengelim yöntemini anlamalıyız. Tümevarım yöntemiyle kurulmuş her ispat da temelinde tümdengelim yöntemine dayalıdır. Tümdengelimin geçerliliği de onun biçimsel geçerliliğiyle ilgilidir, anlamıyla değil. En bilindik tümdengelim örneğinde bile durum böyledir:
Bütün insanlar ölümlüdür
Sokrates bir insandır        ,
O halde Sokrates ölümlüdür, örneğinde olduğu gibi bu çıkarımın geçerliliği aslında içerdiği anlama değil biçimine bağlıdır. O halde burada Sokrates yerine hangi ismi koyarsak koyalım bu kalıp biçim itibariyle geçerli olacaktır. Russell burada işimizi kolaylaştırıp Sokrates yerine değişik isimler koymaktansa buraya x,s,a benzeri bir değişken atar. Böylece, örneğin x'le yaptığımız bir işlemin sonucunda ne çıkarsa, denetlemek istediğimiz veriyi (örneğin Sokrates) yerine yerleştirip kolayca denetleyebiliriz. Değişken atanmış haliyle örneğimiz şuna benzeyecektir: Eğer bütün insanlar ölümlü ise ve eğer x bir insan ise x ölümlüdür. Aynı mantıkla daha da ileriye gidebilir, az önce örneğini verdiğimiz Sokrates'e değişken atama fikri tümdengelimin bütününe uygulanabilir. Sonuçta ölümlü olmak ve insan olmak da tümdengelimin işaret ettiği olguya göre değişebilir niteliklerdir. Bu yüzden aslında bu tümdengelimin pür matematiksel ifadesi şöyle olmalıdır:
Eğer herhangi bir a sınfının bütün elemanları bir s sınıfının da elemanı ise ve eğer x, a sınıfının bir elemanı ise o zaman x, s sınıfının bir elemanıdır.
Bu sayede ölümlülük, insan olma ve Sokrates gibi olgulara dayalı olarak kavramaya çalıştığımız tümdengelim yöntemi içeriksiz bir halde pür mantıksal biçime indirgenir. Pür matematiğin bir önermesini elde etmek için her zaman tümdengelime bu türden bir işlem uygulanmalıdır. Bir ibare doğruluğunu muhafaza ediyorsa terimleri herhangi bir olguya işaret etmeyen niteliksiz bir nesneyle yer değiştirilmelidir. Burada niteliksiz nesne diye tabir edilen mantıksal sabittir. Russell bunun tanımını şöyle yapar: Önermede bulunan ve değişken ile değiştirilmeye çalışıldığında hâlâ yerini koruyan bir sabit mantıksaldır.
Formel önermelerin özelliği mantıksal sabitlerden başka sabit içermeyişidir. Mantıksal sabitler soyut biçimi oluşturanlardır. Pür matematiğin geçerliliği de buna bağlı olarak onun genellemesine bağlıdır. Kısmî ibareler pürleştirme safhasında tümdengelimden ayrılmalıdır. Önerme bir uygulamayı dillendirmemelidir. Russell'a göre; "işte iki şey ve başka iki şey daha; toplamda etti dört şey" önermesi, pür matematik önermesi değildir. Bu önerme "iki şey verilirse ve başka iki şey daha, toplamda dört şey olur" önermesinin bir uygulamasıdır. Asıl pür matematik önermesinin ifade ettiği şey genel yargı bildirir ve bu şekildedir.
Önceki önermenin kısmîliği, bildirilen hipotezin gerçekleşmiş olmasındandır. Oysa ki ikinci türden önermelerde yargı farazîdir ve gerçekleşmemiştir. Yalnızca gerçekleşmesi beklenen tezi bildirir. Farazî oluşu onun niteliksiz nesnelerden oluşmuş olmasındandır. Bu sayede hipotezi sağlayan konu tezi de sağlayacaktır. Değişken üzerinde bir işlem yaptığımızda değişkenin yerine koyacağımız her veride hipotezin geçerli olacağı kesin olacaktır.
Bu nedenle pür matematikte olgulara ihtiyaç kalmadığından uygulama alanına da ihtiyaç yoktur. Pür matematiğin bütün ilgisi niteliksiz değişkenleredir ve zaten bu yeterlidir. Bir tezin gerekirliği onun hipotezinin doğru kurulmuş olmasına bağlıdır ve gerektirme mantıksal sabittir. Gerektirme için doğru önermelere ihtiyaç duyarız ve bunun yöntemi doğru öncüllere ulaşabilmekle mümkündür. Bu çok önemli olan öncül-hipotez ayrımını vurgular.
Bilindiği üzere "Sokrates bir insandır dolayısıyla Sokrates ölümlüdür" ifadesinde "Sokrates insandır" bir öncüldür. Fakat "Sokrates insan ise Sokrates ölümlüdür" dersek "Sokrates insandır" bir hipotez olacaktır. Ancak önermenin bütünü hipotez değildir ve tümdengelim kuralının iki yönlü kullanımına dikkati çeker: Bir tümdengelim kuralı hem öncül olarak hem de öncüllerden hareketle sonuç elde etme yöntemi olarak kullnılabilir. Tümdengelim kuralları öncelikle doğru öncüle ulaşmak için kullanılır. Bu kuralların doğru olmaması durumunda yanlış öncüllerden doğru bir çıkarıma ulaşılamaz. Sonrasında artık kuralları doğrudan doğruya öncül olarak değil çıkarımda bulunmak için kullanılır. Bu yüzden tümdengelimin kendisi yanlış olmasa da öncüllerin yanlış olması durumunda tümdengelim de yanlış olacaktır.

Felsefî Önemi


Bilimsel bilginin dayanağı gözleme dayalı olmakla beraber, tümevarım yöntemine bağlıdır. Daha önce gözlemlediğimiz bir olgunun tekrarlama olasılığı, tekrarlamama olasılığından daha yüksek görünür. Bunu doğanın kendisi bize böyle verdiği için değil, kanaatlerimiz bu yönde olduğu için böyle karar veririz. Aslında tümevarımın kendisi böyle kanaate dayalı bir bilgi olduğundan a priori ve evrensel mantık ilkelerine ihtiyaç duyar.
"Tümevarım ilkesini ifade etmekle biz her tümevarımı tümdengelime dönüştürürüz; tümevarım belli bir öncülü yani tümevarım ilkesini kullanan bir tümdengelimden başka bir şey değildir."
Mtematiksel bilgi, tecrübî bilginin karşısındadır. Çünkü sabit mantıksal önermelerle duyu verisinin ötesindedir ve genele işaret eder. Oysa duyu verileri bireyseldir. Biz genel durumun genişletilmesinde tümevarım yöntemi dolayısıyla duyu verilerine başvurduğumuzu söyleyemeyiz. Çünkü daha önce de belirttiğim gibi, tümevarım deneyimle ispatlanamaz. Bu türden bir matematik analizi bilgi teorisinin direk ilgilendirir görünür. İnsan bilgisi, bütün felsefe tarihinde tikel olguların bilgisi ve akî doğruların bilgisi olarak ikiye ayrılmıştır. Algıya konu olan tikelin bilgisi belli olaylara dairdir. Pür matematikte ise sadece mantıksal doğruların bilgisine ulaşırız. Tikelin bilgisi, kanıta ihtiyaç duymayan kendinden doğru olan mantıksal doğruların varlığına ihtiyaç duyar. Bu doğrular daha önceki bölümde belirttiğim gibi aslında pür matematiğin öncülleridir.
Bu durum bilgi teorisi içinde emprisizmin yanıldığını gösterir. Çünkü belirttiğimiz yöntemle sadece tek tek olaylar değil, genel hakkında da konuşabiliriz. Böylece olabilecekler hakkında da iddiada bulunabiliriz.
Emprisizmin yanıldığını söylemekle idealizm haklı çıkmış olmaz. Russell burada Kant'tan türetilen bilgi kuramlarını kastederek, idealizmin a priori doğruların evrenselliğinin bunların zihnin niteliklerini ifade edebilme özelliğinden kaynaklandığını farz ettiğini söyler. Bize ait doğruların ilgilendiğimiz konuyla alakası aynı görünür.  Russell bunu renkli gözlük takma örneğiyle açıklar. Ona göre mavi bir gözlük taktığımzda herşeyi nasıl mavi görüyorsak, Kant'ın kategorileri de böyle renkli gözlüklerle bakıyormuş gibidir. Ama Kant herkesin aynı gözlüğe daima aynı şekilde nasıl sahip olduğunu belirtmemiştir. Aynı şekilde Kant'ın teorisinde tikel olguların zihin dışındaki nesnelliğine a priori doğruların da sahip olması gerekir. Eğer bu doğrular bireyden bireye değişen psikolojik olgularsa bunları, olgulardan diğer olguları çıkarmak için kullanamayız. Çünkü genel yargılar olguların kendileriyle değil onlara dair fikirlerimizle ilgilidir. Mantık ve matematik yine de bizi tikellerin varoluşu gibi olmasa da kısmî bir evrenseller ve doğrular dünyasını kabule zorlar.
Russell bundan sonra kendinden aşikâr doğrulardan bahseder. Bunlar blginin temelini oluşturur veya bilgimiz bu kendinden aşikarlık üzerine kuruludur. Ancak bunlardan hareketle oluşturulan bilginin basamaklarıyla tümdengelimin basamakları aynı değildir. Sonuçlar öncüllerden daha aşikar gözükecektir ve sonuçların doğruluğundan emin olduğumuz durumlarda bile öncüller sadece olası görünürler. Onların olası olması sonucun doğruluğuna bağlıdır. Çoğu esas öncül sonuçtan daha az açıktır ve bu yüzden matematikte uygulaması söz konusudur. Bu esas öncüllerin bilgisi matematiksel bir sezgiye dayalıdır ve matematiksel sezginin rolü psikolojik bir konudur. Cevabı da tümdengelimli bir sistem oluştururken gerekli değildir.

Sonuç


  Matematiksel mantık formel önermeler sınıfı olarak tanımlanarak, bizim üzerine açıkça konuşamadığımız hareket, süreklilik gib problemleri çözüme ulaştırdığı gibi, uzay, zaman ve hareket üzerine de sağlam bir felsefe zemini hazırlamıştır. Ayrıca matematiksel bilginin tanımı, duyusal olgulara dayanan emprisizmin ve a priori bilginin kaynağını açıkça ifade edemeyen idealizmin dayanaklarını yıkmaktadır. Çünkü matematiksel bilgi duyulara dayanmayan öznel ve psikolojik anlamda ifade edilemeyen a priori bilginin varlığını göstermektedir.